4.1.4 多项式函数
在工程及科学分析上，多项式常被用来模拟一个物理现象的解析函数，我们在第九章所介绍的「曲线契合」
即是一个这方面的应用。之所以采用多项式，是因为它很容易计算。在这章中我们将说明如何做多项式的计
算及解多项式的根。
令p(x) 代表一个多项式如下
MATLAB 以一最简便方式代表上述的多项式 p=[1
4 -7 -10]，其中的数值是多项式的各阶项（从高到低）的 各个系数，其实p
也是一个阵列不过是用以代表这个多项式。
有了多项式的表示式后，我们即可来计算其函数值。假设要计算一组数据x对应的多项式值，依照一般的函数 计算须以下列式子计算：
>> p=x.^3+4*x.^2-7*x-10
为了能直接运用多项式，可以用函数 polyval直接做运算，语法为 polyval(p,x)，其中p 即是代表多项式各阶系数 的阵列。因此
>> x=linspace(-1,3);
>> p=[1 4 7 -10];
>> v=polyval(p,x);
我们接著说明如何对二个多项式做加减乘除运算，以及对多项式微分。当二个多项式间要做加减乘除时，加
减运算可以直接进行。假设有二个多项式
和 
定义如下：
如果多项式 
为上述二多项式相加，即
，因此
如果是二多项式相减得到的多项式为 
则
而将两个多项式相乘可以得到一新的多项式
：
如果是两个多项式相除，即
：
上述二个运算式不能直接运算，须要另外定义函数conv做乘法运算以及函数deconv做除法运算。当二多项式
相乘，在数学上等于二个阵列做旋积(convolution)运算（因为我们是以阵列来代表一个多项式的各阶系数），
因此可利用conv函数做乘法运算，其语法为conv(a,b)，其中a,
b代表二个多项式的阵列。而二多项式相除就相 当于反旋积(de-convolution)
运算，因此有 deconv 函数，其语法稍有不同 [q,r]=deconv(a,b)，其中q,r分别代表整
除多项式及余数多项式。
以下就介绍相关范例，来说明二个多项式的加减乘除运算：
>> a=[1 2 3 4]; b=[1 4 9 16];
>> c=a+b
c =
2 6 12 20
>> d=a-b
d =
0 -2 -6 -12
>> e=conv(a,b)
e =
1 6 20 50 75 84 64
>> g=e+[0 0 0 c]
g =
1 6 20 52 81 96 84
>> [f,r]=deconv(e,b)
f =
1 2 3 4
r =
0 0 0 0 0 0 0 % 因为是整除所以余数多项式的各系数皆为零
>> [h,r]=deconv(g,a)
f =
1 4 9 18
r =
0 0 0 0 2 6 12 % 余数多项式为 2*x^2 + 6*x
+ 12
一个多项式视其阶数而定，它的根可以有一个到数个，可能为实数也可能是复数。要求一高阶多项式的根 往往须借助数值方法，所幸MATLAB已将这些数值方法写成一函数roots(p)，我们只要输入多项式的各阶系 数（以p代表）即可求解到对应的根。
>> p=[1 3 2];
>> r=roots(p)
r =
-2
-1
>> p=[1 -12 0 25 116]; % 注意二阶项系数为零须要输入，否则多项式的阶数就不对
>> r=roots(p) % 有实数根及复数根
r =
11.7473
2.7028
-1.2251 + 1.4672i
-1.2251 - 1.4672i
与 roots 相关的函数尚有 poly, real，这二个函数的用途是要验算求解的根展开能求得原多项式。 例如有一个二次方程式的根为 2, 1，则以下式计算原多项式
poly函数就是在求出多项式的各阶系数，其语法为 poly(r)，其中 r 是代表根的阵列。而 real则是用来去除因计算时产生的假虚部系数，为何会有此种情形请参考以下的例子。
>> r=[-2 -1];
>> pp=poly(r) % pp=(x+2)(x+1)=x^2+3x+2
pp =
1 3 2
>> p=[1 -4 6 -4];
>> r=roots(p)
r =
2.0000 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i
>> pp=poly(r) % 这个多项式的系数与原多项式 p 相同
pp =
1 -4 6 -4
>> pp=[1 7 12 9]; % 再看另一个多项式
>> r=roots(pp)
r =
-4.9395
-1.0303 + 0.8721i
-1.0303 - 0.8721i
>> pp=poly(r) % 注意因计算的误差会有假虚部产生
pp =
1.0000 7.0000 12.0000 9.0000 + 0.0000i
>> pp=real(pp) % 可以real将假虚部去除，将原多项式还原
pp =
1.0000 7.0000 12.0000 9.0000
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