多项式函数

MATLAB

4.1.4 多项式函数


在工程及科学分析上,多项式常被用来模拟一个物理现象的解析函数,我们在第九章所介绍的「曲线契合」 即是一个这方面的应用。之所以采用多项式,是因为它很容易计算。在这章中我们将说明如何做多项式的计 算及解多项式的根。

p(x) 代表一个多项式如下

MATLAB 以一最简便方式代表上述的多项式 p=[1 4 -7 -10],其中的数值是多项式的各阶项(从高到低)的 各个系数,其实p 也是一个阵列不过是用以代表这个多项式。

有了多项式的表示式后,我们即可来计算其函数值。假设要计算一组数据x对应的多项式值,依照一般的函数 计算须以下列式子计算:

>> p=x.^3+4*x.^2-7*x-10

为了能直接运用多项式,可以用函数 polyval直接做运算,语法为 polyval(p,x),其中p 即是代表多项式各阶系数 的阵列。因此

>> x=linspace(-1,3);

>> p=[1 4 7 -10];

>> v=polyval(p,x);

我们接著说明如何对二个多项式做加减乘除运算,以及对多项式微分。当二个多项式间要做加减乘除时,加 减运算可以直接进行。假设有二个多项式 定义如下:

如果多项式 为上述二多项式相加,即 ,因此

如果是二多项式相减得到的多项式为


而将两个多项式相乘可以得到一新的多项式

如果是两个多项式相除,即

上述二个运算式不能直接运算,须要另外定义函数conv做乘法运算以及函数deconv做除法运算。当二多项式 相乘,在数学上等于二个阵列做旋积(convolution)运算(因为我们是以阵列来代表一个多项式的各阶系数), 因此可利用conv函数做乘法运算,其语法为conv(a,b),其中a, b代表二个多项式的阵列。而二多项式相除就相 当于反旋积(de-convolution) 运算,因此有 deconv 函数,其语法稍有不同 [q,r]=deconv(a,b),其中q,r分别代表整 除多项式及余数多项式。

以下就介绍相关范例,来说明二个多项式的加减乘除运算:

>> a=[1 2 3 4]; b=[1 4 9 16];

>> c=a+b

c =

2 6 12 20

>> d=a-b

d =

0 -2 -6 -12

>> e=conv(a,b)

e =

1 6 20 50 75 84 64

>> g=e+[0 0 0 c]

g =

1 6 20 52 81 96 84

>> [f,r]=deconv(e,b)

f =

1 2 3 4

r =

0 0 0 0 0 0 0 % 因为是整除所以余数多项式的各系数皆为零

>> [h,r]=deconv(g,a)

f =

1 4 9 18

r =

0 0 0 0 2 6 12 % 余数多项式为 2*x^2 + 6*x + 12

一个多项式视其阶数而定,它的根可以有一个到数个,可能为实数也可能是复数。要求一高阶多项式的根 往往须借助数值方法,所幸MATLAB已将这些数值方法写成一函数roots(p),我们只要输入多项式的各阶系 数(以p代表)即可求解到对应的根。

>> p=[1 3 2];

>> r=roots(p)

r =

-2

-1

>> p=[1 -12 0 25 116]; % 注意二阶项系数为零须要输入,否则多项式的阶数就不对

>> r=roots(p) % 有实数根及复数根

r =

11.7473

2.7028

-1.2251 + 1.4672i

-1.2251 - 1.4672i

roots 相关的函数尚有 poly, real,这二个函数的用途是要验算求解的根展开能求得原多项式。 例如有一个二次方程式的根为 2, 1,则以下式计算原多项式

poly函数就是在求出多项式的各阶系数,其语法为 poly(r),其中 r 是代表根的阵列。而 real则是用来去除因计算时产生的假虚部系数,为何会有此种情形请参考以下的例子。

>> r=[-2 -1];

>> pp=poly(r) % pp=(x+2)(x+1)=x^2+3x+2

pp =

1 3 2

>> p=[1 -4 6 -4];

>> r=roots(p)

r =

2.0000 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i

>> pp=poly(r) % 这个多项式的系数与原多项式 p 相同

pp =

1 -4 6 -4

>> pp=[1 7 12 9]; % 再看另一个多项式

>> r=roots(pp)

r =

-4.9395

-1.0303 + 0.8721i

-1.0303 - 0.8721i

>> pp=poly(r) % 注意因计算的误差会有假虚部产生

pp =

1.0000 7.0000 12.0000 9.0000 + 0.0000i

>> pp=real(pp) % 可以real将假虚部去除,将原多项式还原

pp =

1.0000 7.0000 12.0000 9.0000



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